確率deビンゴ

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最近ビンゴゲームをした時のビンゴになる確率をもや〜っと考えていた。要は、「ガラガラ〜何番！」を何回やったら、何人くらいビンゴになるか？を知りたいのだ。

で最初は、4回やった時にビンゴになるカードのパターンはいくつあって、5回だといくつで、8回からダブリがあるからいくつで…みたいな全部数える感じで考えていたのだが、どうもスマートじゃない。

そこで、考え方をガラっと変えてみた。ビンゴカードの「ある1列」に注目したのだ。ある列が「ガラガラ〜何番！」m回目にビンゴに“なっている”確率f(m)とすると、そのカードがm回目にビンゴに“なっている”状態というのは、そのカードのビンゴになることができる列の“いずれか”が揃っていればいいわけで、その確率F(m)はf(m)×列数ではないかと思ったのだよ。（注：m回目にビンゴに“なる”確率ではない）

でまずはf(m)を考える。カードに記載されている番号がn個あるとすると、m回目の場合の数は、n個の数字の中からその列の数字m個を抜き出す組み合わせの数なので、nCm=n!/(n-m)!m!。一方、m回目にある列がビンゴになる場合の数というのは、m回で出るm個の数字ののうち、その列に含まれている5つの数（真ん中のFreeを含む列については4つ）以外の数字の組み合わせの数だけあるから、nC(m-5)=n!/(n-(m-5))!(m-5)!。ということは、
f(m)=nCm/nC(m-5)
=(n-(m-5))!(m-5)!/(n-m)!m!
となる。

そしていよいよF(m)。ビンゴになるために5つの数字が必要な列は8列、真ん中を含むために4つの数字でよい列が4列だから、
F(m)=8*(n-(m-5))!(m-5)!/(n-m)!m!+4*(n-(m-4))!(m-4)!/(n-m)!m!
=8(n-m+5)!(m-5)!/(n-m)!m!+4(n-m+4)!(m-4)!/(n-m)!m!
=4(n-m+4)!(m-5)!/(n-m)!m!*(2(n-m+5)+(m-4))
=4(2n-m+6)(n-m+4)!(m-5)!/(n-m)!m!

F(m)にゲーム参加人数をかければ、m回目にビンゴになっている人数の期待値が出て、景品の数と必要な時間が推測できるというわけ。

どうだろ?あってるかなぁ?今度ググって調べてみよっと♪